北京校考真题及答案详解

北京校考真题及答案详解

一、数学部分
题目：

1. 已知函数 f(x) = x^2 - 4，求 f(-3)。
2. 计算以下表达式的值： (2a + b)^2 + (2a - b)^2。
3. 若 a + b = 0，求证：a^2 + b^2 = c^2。
4. 已知向量 a = (1, 0)，b = (0, 1)，c = (0, -1)，求向量 a + b - c 的模长。
5. 解方程组：
   A x = 1
   B x = 3
   解得 x = ?
6. 已知曲线 C的参数方程为：
   x = cosα
   y = sinα
   其中 α ∈ [0, π]。请给出曲线的极坐标方程并求出其极坐标形式下的面积。

答案详解：

1. f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5。
2. 原式可以展开为：
   (2a + b)^2 + (2a - b)^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4ab + 4a^2 - 4b^2 + 4ab - 4ab = 8a^2 + 8b^2。
3. 由题设知 a + b = 0，则 a^2 + b^2 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 0 * (a^2 - ab + b^2) = 0。
4. 利用向量减法公式，有 | (a + b) - c| = |(1, 0) - (0, -1)| = |1, 1| = √(1^2 + 1^2) = √2。
5. 解方程组 A x = 1，B x = 3，得到 x = 1/(A/B) = 1/(3/1) = 1/3。
6. 曲线 C的极坐标方程为：
   ρsinθ = cosα
   ρcosθ = sinα
   由于 α ∈ [0, π]，所以 ρsinθ = cosα，ρcosθ = sinα。
   将 α 代入得 ρsinθ = cos(π - α) = -sinα，ρcosθ = sin(π - α) = cosα。
   因此，曲线的极坐标方程为：ρsinθ = -ρcosθ。
   极坐标形式的面积为：S = ρsinθdxdy = -ρcosθdθdρ = -ρdθ(-dρ) = -ρdθ / -dρ = ρdθ / dρ。

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